(OBMEP/2016) Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa.
(a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?
(b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5 ?
(c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5 ?
(d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?
(a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?
(b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5 ?
(c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5 ?
(d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?
Passo 1
O enunciado descreve um experimento sem reposição: seis bolas numeradas de 1 a 6, de onde se retiram quatro bolas, uma a uma, sem devolver à caixa. Precisamos usar contagem de combinações para as probabilidades de (a), (b) e (c), e contagem de permutações para (d), pois aí a posição importa.
Passo 2
O número total de subconjuntos de 4 bolas (sem considerar ordem) é
Passo 3
(a) Para o menor número observado ser 1, basta que o subconjunto de 4 bolas inclua a bola 1. Escolhemos as outras 3 de entre as 5 bolas restantes, de modo que haja
subconjuntos favoráveis. Logo
Passo 4
(b) Para o maior número observado ser 5, o subconjunto deve incluir a bola 5 e não incluir a bola 6. As outras 3 são escolhidas entre as bolas
, gerando
casos. Assim
Passo 5
(c) Para ter simultaneamente mínimo 1 e máximo 5, o subconjunto deve conter 1 e 5, e as outras 2 bolas vêm de
, dando
casos. Logo
Passo 6
Para (d) a ordem importa: queremos que, na sequência de 4 retiradas, o menor seja o 1º retirado e o maior seja o 4º. O total de sequências possíveis de 4 bolas distintas é
Passo 7
Vamos contar as sequências favoráveis. Seja
o valor na 1ª posição (mínimo) e
o valor na 4ª (máximo), com
. Os dois números das posições 2 e 3 devem ficar entre
e
, isto é, escolhidos de
.
Para cada par com
, há
Para cada par
formas de escolher os dois valores intermediários, e eles se arranjam de
modos nas posições 2 e 3.
Listando pares :
Listando pares
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
Somando os
:
. Multiplicamos por
pelas permutações das posições 2 e 3, obtendo
sequências favoráveis.
Passo 8
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)