(OBMEP/2016) Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na caixa.
(a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?
(b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5 ?
(c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5 ?
(d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento sem reposição: seis bolas numeradas de 1 a 6, de onde se retiram quatro bolas, uma a uma, sem devolver à caixa. Precisamos usar contagem de combinações para as probabilidades de (a), (b) e (c), e contagem de permutações para (d), pois aí a posição importa.

Passo 2

O número total de subconjuntos de 4 bolas (sem considerar ordem) é
binom64 = 15

Passo 3

(a) Para o menor número observado ser 1, basta que o subconjunto de 4 bolas inclua a bola 1. Escolhemos as outras 3 de entre as 5 bolas restantes, de modo que haja
binom53 = 10
subconjuntos favoráveis. Logo
P(mínimo=1)=1015=23 í

Passo 4

(b) Para o maior número observado ser 5, o subconjunto deve incluir a bola 5 e não incluir a bola 6. As outras 3 são escolhidas entre as bolas 1,2,3,4, gerando
binom43 = 4
casos. Assim
P(máximo=5)=415 á

Passo 5

(c) Para ter simultaneamente mínimo 1 e máximo 5, o subconjunto deve conter 1 e 5, e as outras 2 bolas vêm de 2,3,4, dando
binom32 = 3
casos. Logo
P(mín=1, máx=5)=315=15 íá

Passo 6

Para (d) a ordem importa: queremos que, na sequência de 4 retiradas, o menor seja o 1º retirado e o maior seja o 4º. O total de sequências possíveis de 4 bolas distintas é
P(6,4)=6times5times4times3=360

Passo 7

Vamos contar as sequências favoráveis. Seja m o valor na 1ª posição (mínimo) e M o valor na 4ª (máximo), com 1<= m<M<=6. Os dois números das posições 2 e 3 devem ficar entre m e M, isto é, escolhidos de m+1,dots,M-1.
Para cada par (m,M) com M-m>=3, há
binomM-m-12
formas de escolher os dois valores intermediários, e eles se arranjam de 2! modos nas posições 2 e 3.
Listando pares (m,M):
  • (1,4): M-m-1=2 Rightarrow binom22=1
  • (1,5): 3 Rightarrow binom32=3
  • (1,6): 4 Rightarrow binom42=6
  • (2,5): 2 Rightarrow binom22=1
  • (2,6): 3 Rightarrow binom32=3
  • (3,6): 2 Rightarrow binom22=1
Somando os binomcdot2: 1+3+6+1+3+1=15. Multiplicamos por 2! pelas permutações das posições 2 e 3, obtendo 15times2=30 sequências favoráveis.

Passo 8

Portanto
P(mínimo na 1ª e máximo na 4ª) = 30360 = 112 íªáª

Resposta

(a) tfrac23
(b) tfrac415
(c) tfrac15
(d) tfrac112

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