xxxiii) lim x 0 2 x-sen^-1(x)2 x+cos ^-1(x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto02x-sen^-1(x)2x+cos^-1(x)
Este é um problema de limites envolvendo funções inversas trigonométricas próximas de zero. Para resolver, vamos usar as expansões em série de Taylor de sen^-1(x) e cos^-1(x) em torno de x=0.

Passo 2

Lembrando as expansões de Taylor até a ordem x^3:
sen^-1(x)=x+x^36+O(x^5),
cos^-1(x)=pi2-sen^-1(x) =pi2-l(x+x^36r)+O(x^5) =pi2-x-x^36+O(x^5)

Passo 3

Substituindo as séries no numerador e denominador:
2x-sen^-1(x) =2x-l(x+x^36+O(x^5)r) =x-x^36+O(x^5),
2x+cos^-1(x) =2x+l(pi2-x-x^36+O(x^5)r) =pi2+x-x^36+O(x^5)

Passo 4

Para xto0, o numerador tende a 0 (pois é x+O(x^3)) e o denominador tende a pi/2. Logo,
limxto02x-sen^-1(x)2x+cos^-1(x) =0pi/2 =0

Resposta

0

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