lim x 0 sen^-1(x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0sen^-1(x)x,
ou seja, o limite do quociente entre a função inversa do seno e a própria variável quando x tende a zero. Vamos usar a regra de L’Hôpital, pois se trata de uma forma indeterminada do tipo tfrac00.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo xto0 diretamente:
sen^-1(0)=0 e x=0,
logo o quociente é tfrac00, o que justifica o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
ddxl[sen^-1(x)r] =1raiz1-x^2, ddx[x]=1
Portanto
limxto0sen^-1(x)x =limxto0tfrac1raiz1-x^21 =limxto01raiz1-x^2

Passo 4

Basta agora avaliar o limite remanescente em x=0:
1raiz1-0^2=11=1

Resposta

1

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