xxxiv) lim x 0 2 x-sen^-1(x)2 x+tan ^-1(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0 2x - sen^-1(x)2x + tan^-1(x),
que é um caso de forma indeterminada 0/0. O conteúdo é cálculo de limites e vamos usar séries de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, o numerador fica
2cdot0 - sen^-1(0)=0-0=0
e o denominador fica
2cdot0 + tan^-1(0)=0+0=0,
isto é forma 0/0, então podemos usar expansão em série.

Passo 3

As expansões de Taylor até a ordem x^3 são:
sen^-1(x) = x + x^36 + O(x^5),
tan^-1(x) = x - x^33 + O(x^5)

Passo 4

Substituindo em numerador e denominador:
2x - sen^-1(x) =2x -l(x + tfracx^36 + O(x^5)r) = x - x^36 + O(x^5),
2x + tan^-1(x) =2x +l(x - tfracx^33 + O(x^5)r) =3x - x^33 + O(x^5)

Passo 5

Fatoramos x e simplificamos:
x - tfracx^36 + O(x^5)3x - tfracx^33 + O(x^5) =xl(1 - tfracx^26 + O(x^4)r)xl(3 - tfracx^23 + O(x^4)r) =1 - tfracx^26 + O(x^4)3 - tfracx^23 + O(x^4)
Tomando xto0, isso tende a tfrac13.

Resposta

13

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