1. Prove que existe de<a>0 tal que
1-de<a<x<1+de<a 2-12<x^5+3 xx^3+1<2+12

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe de<a>0 tal que
1-de<a<x<1+de<aLongrightarrow 2-tfrac12<x^5+3xx^3+1<2+tfrac12
Este é um problema de definir limite de função em x=1 usando o critério lvert f(x)-Lrvert<varepsilon, com f(x)=x^5+3xx^3+1, L=f(1)=2 e varepsilon=tfrac12.

Passo 2

Calculemos primeiro
f(1)=1^5+3cdot11^3+1=1+31+1=2
A desigualdade 2-tfrac12<f(x)<2+tfrac12 equivale a
l|f(x)-2r|<tfrac12

Passo 3

Reescrevemos f(x)-2 num único quociente e fatoramos o numerador por x-1.
f(x)-2 =x^5+3xx^3+1-2 =x^5+3x-2x^3-2x^3+1 =x^5-2x^3+3x-2x^3+1
Como x^5-2x^3+3x-2 anula em x=1, divide-se por x-1:
x^5-2x^3+3x-2=(x-1)l(x^4+x^3-x^2-x+2r)
Logo
l|f(x)-2r| =gl|x-1x^3+1l(x^4+x^3-x^2-x+2r)gr| =lvert x-1rvert;l|x^4+x^3-x^2-x+2r|lvert x^3+1rvert

Passo 4

Para controlar os fatores, imponhamos provisoriamente
de<a<=tfrac12. Então lvert x-1rvert<de<a<=tfrac12 implica
tfrac12<x<tfrac32
Nessa faixa:
  1. lvert x^4+x^3-x^2-x+2rvert<= x^4+x^3+x^2+x+2 <=l(tfrac32r)^4+l(tfrac32r)^3+l(tfrac32r)^2+tfrac32+2 =22716<15
  2. lvert x^3+1rvert=x^3+1>=l(tfrac12r)^3+1=tfrac18+1=tfrac98

Passo 5

Com essas estimativas,
l|f(x)-2r| <= lvert x-1rvert;159/8 =lvert x-1rvert;15cdot89 =lvert x-1rvert;1209 =lvert x-1rvert;403
Para garantir lvert f(x)-2rvert<tfrac12, basta ter
lvert x-1rvert;403<tfrac12 Long<=ftrightarrow lvert x-1rvert<380

Passo 6

Juntando as duas condições sobre de<a, escolhemos
de<a=minl(tfrac12,;tfrac380r)
Então, sempre que lvert x-1rvert<de<a, temos lvert f(x)-2rvert<tfrac12, isto é
2-tfrac12<x^5+3xx^3+1<2+tfrac12

Resposta

de<a=minl(tfrac12,tfrac380r).

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