- Prove que existe
tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe
tal que
Este é um problema de definir limite de função em
usando o critério
, com
,
e
.
Passo 2
Calculemos primeiro
A desigualdade
equivale a
Passo 3
Reescrevemos
f(x)-2 num único quociente e fatoramos o numerador por
x-1 .
Como
x^5-2x^3+3x-2 anula em
x=1 , divide-se por
x-1 :
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Passo 4
Para controlar os fatores, imponhamos provisoriamente
de<a<=tfrac12 . Então
lvert x-1rvert<de<a<=tfrac12 implica
Nessa faixa:
-
lvert x^4+x^3-x^2-x+2rvert<= x^4+x^3+x^2+x+2 <=l(tfrac32r)^4+l(tfrac32r)^3+l(tfrac32r)^2+tfrac32+2 =22716<15 -
lvert x^3+1rvert=x^3+1>=l(tfrac12r)^3+1=tfrac18+1=tfrac98
Passo 5
Com essas estimativas,
Para garantir
lvert f(x)-2rvert<tfrac12 , basta ter
Passo 6
Juntando as duas condições sobre
de<a , escolhemos
Então, sempre que
lvert x-1rvert<de<a , temos
lvert f(x)-2rvert<tfrac12 , isto é