xlix) lim x infty(1x-1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(1x-1e^x-1r).
Isso é um limite no infinito envolvendo funções que tendem a zero, então vamos usar comparação de ordens de grandeza e combinar frações para analisar o comportamento assintótico.

Passo 2

Note que
1xto0 e 1e^x-1to0 quando xtoinfty.
Porém e^x cresce muito mais rápido que x, então a segunda parcela tende a zero muito mais rapidamente.

Passo 3

Para ver isso de modo rigoroso, escrevemos tudo em uma única fração:
1x-1e^x-1 =(e^x-1)-x,x,(e^x-1), =e^x-1-xx(e^x-1)

Passo 4

Quando xtoinfty temos e^xgg x+1, logo
e^x-1-xsim e^x e x(e^x-1)sim x,e^x
Assim a fração se comporta como
e^x-1-xx(e^x-1)sime^xx,e^x=1x,
e portanto tende a zero.

Resposta

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