L[f(t-a) u(t-a)]=e^-a s F(s) Leftrightarrow L^-1[e^-a s F(s)]=f(t-a) u(t-a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de deslocamento no tempo na transformada de Laplace, ou seja, provar que
Ll[f(t-a),u(t-a)r]=e^-a sF(s)
e, por inversão,
L^-1l[e^-a sF(s)r]=f(t-a),u(t-a)
Aqui usamos a definição de transformada de Laplace e a função de passo unitário u(t-a).

Passo 2

Começamos pela definição
Ll[f(t-a),u(t-a)r] =integral0^inftyf(t-a),u(t-a),e^-s t,dt
Como u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t>= a, o limite inferior da integral passa de 0 para a:
Ll[f(t-a),u(t-a)r] =integrala^inftyf(t-a),e^-s t,dt

Passo 3

Fazemos a mudança de variável tau = t - a. Então t=tau+a, e quando t vai de a a infty, tau vai de 0 a infty. Além disso, dt=dtau. A integral fica
integrala^inftyf(t-a),e^-s t,dt =integral0^inftyf(tau),e^-s(tau+a),dtau =e^-a sintegral0^inftyf(tau),e^-stau,dtau
Por definição, integral0^inftyf(tau)e^-staudtau=F(s). Logo
Ll[f(t-a),u(t-a)r] =e^-a sF(s)

Passo 4

Como a transformada de Laplace é invertível e linear, basta inverter o fator e^-as. Isso dá
L^-1l[e^-a sF(s)r] =f(t-a),u(t-a)

Resposta

Ll[f(t-a),u(t-a)r]=e^-a sF(s)Leftrightarrow L^-1l[e^-a sF(s)r]=f(t-a),u(t-a)

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