Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
  1. (2 Pontos) Metodologia da Transformada de Laplace Determine, em função de y(0) e y^prime(0), a solução geral da EDO
y^prime prime(t)-2 y^prime(t)+y(t)=e^t
(Sugestão: Note que sy (0)+2 y(0)=(s-1) y(0)+3 y(0).)

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
y''(t)-2y'(t)+y(t)=e^t
com condições iniciais y(0) e y'(0). O conteúdo aqui é a transformada de Laplace: vamos transformar cada termo da EDO em função de s, resolver para Y(s)= Ly(t) e depois inverter a transformada para obter y(t).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s), Le^t=1s-1,
fica
l(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)r)-2l(sY(s)-y(0)r)+Y(s) =1s-1

Passo 3

Agrupo os termos em Y(s) e os termos independentes:
(s^2-2s+1),Y(s)-s,y(0)-y'(0)+2,y(0)=1s-1
Como s^2-2s+1=(s-1)^2, isolamos
Y(s) =1(s-1)^2,1s-1 +s,y(0)-2,y(0)+y'(0)(s-1)^2 =1(s-1)^3 +l(s-2r),y(0)+y'(0)(s-1)^2

Passo 4

Para inverter, decompomos a segunda fração:
(s-2),y(0)(s-1)^2 =y(0),s-1-1(s-1)^2 =y(0)l(1s-1-1(s-1)^2r),
portanto
Y(s) =1(s-1)^3 +y(0),1s-1 -y(0),1(s-1)^2 +;y'(0),1(s-1)^2

Passo 5

Agora aplico a transformada inversa termo a termo, sabendo que
L^-1l1s-1r=e^t, L^-1l1(s-1)^2r=t,e^t, L^-1l1(s-1)^3r=t^22,e^t
Logo
y(t) =t^22,e^t +y(0),e^t -y(0),t,e^t +y'(0),t,e^t

Passo 6

Factoring e^t deixa a forma mais compacta:
y(t) =e^tl[y(0)+(y'(0)-y(0)),t+tfract^22r]

Resposta

y(t)=e^tl[y(0)+(y'(0)-y(0)),t+tfract^22r]

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