L[sen(a t)]=as^2+a^2 Leftrightarrow L^-1[as^2+a^2]=sen(a t)

Passo 1

O enunciado quer mostrar que a transformada de Laplace de sen(at) é
Ll[sen(at)r](s)=as^2+a^2
e, por consequência, que a transformada inversa satisfaz
L^-1!l[as^2+a^2r]=sen(at)
O conteúdo é transformada de Laplace e usaremos a propriedade da transformada da derivada.

Passo 2

Seja f(t)=sen(at). Então f'(t)=acos(at) e f(0)=sen(0)=0. Pela propriedade da transformada de Laplace da derivada, temos
L[f'](s)=s,L[f](s)-f(0) Longrightarrow L[acos(at)](s)=s,F(s),
onde F(s)=L[sen(at)](s).

Passo 3

Sabemos também que
L[cos(at)](s)=ss^2+a^2
Multiplicando por a, obtemos
L[acos(at)](s) = a;ss^2+a^2 =a,ss^2+a^2
Logo a relação do passo anterior fica
a,ss^2+a^2=s,F(s)

Passo 4

Isolando F(s), vem
F(s)=L[sen(at)](s) =a,ss,(s^2+a^2) =as^2+a^2,
válido para Re(s)>0. Isso demonstra a transformada direta.

Passo 5

Como a transformada é um operador invertível em Re(s)>0, a transformada inversa satisfaz
L^-1!l[as^2+a^2r]=sen(at)

Resposta

L^-1!l[as^2+a^2r]=sen(at)

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