Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
2. (3 Pontos) Propriedades, convolução e Equação Integrodiferencial.
( 0.5 ponto) b) Verifique que integral0^t f(tau) d tau=1 * f(t) e utilize o teorema da convolução para mostrar que L[integral0^t f(tau) d tau]=F(s)s.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas: primeiro que
integral0^tf(tau),dtau
é a convolução de f(t) com a função constante 1, isto é,
integral0^tf(tau),dtau = (1 * f)(t),
e depois usar o teorema da convolução para provar que
Ll[integral0^tf(tau),dtaur] = F(s)s,
onde F(s)=Lf(t).

Passo 2

Pela definição de convolução de duas funções causais g(t) e h(t), temos
(g*h)(t) = integral0^t g(tau),h(t-tau),dtau
Se escolhermos g(t)=1 para t>=0, então
(1*f)(t) = integral0^t 1cdot f(t-tau),dtau
Fazendo a troca de variável sigma = t-tau (ou usando a comutatividade da convolução), obtemos
(1*f)(t) = integral0^t f(sigma),dsigma
que é exatamente integral0^tf(tau),dtau.

Passo 3

Pelo teorema da convolução na transformada de Laplace,
Lg*h = Lg;Lh
Aqui g(t)=1 tem transformada
L1 = integral0^infty e^-st,dt = 1s,
e h(t)=f(t) tem transformada
Lf = F(s)

Passo 4

Aplicando o teorema da convolução a (1*f)(t), obtemos
L(1*f)(t) = L1;Lf = 1s,F(s) = F(s)s
Como (1*f)(t)=integral0^tf(tau),dtau, concluímos o resultado pedido.

Resposta

Ll[integral0^tf(tau),dtaur] = F(s)s

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