Matemática Aplicada à Engenharia -
Prova
Nome/RA:
2. (3 Pontos) Propriedades, convolução e Equação Integrodiferencial.
( 0.5 ponto) b) Verifique que
e utilize o teorema da convolução para mostrar que
.
Nome/RA:
2. (3 Pontos) Propriedades, convolução e Equação Integrodiferencial.
( 0.5 ponto) b) Verifique que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas: primeiro que
é a convolução de
com a função constante
, isto é,
e depois usar o teorema da convolução para provar que
onde
.
Passo 2
Pela definição de convolução de duas funções causais
e
, temos
Se escolhermos
para
, então
Fazendo a troca de variável
(ou usando a comutatividade da convolução), obtemos
que é exatamente
.
Passo 3
Pelo teorema da convolução na transformada de Laplace,
Aqui
tem transformada
e
tem transformada
Passo 4
Aplicando o teorema da convolução a
, obtemos
Como
, concluímos o resultado pedido.