Matemática Aplicada à Engenharia - 3^a Prova
Nome/RA:
3. (2.5 Pontos) Movimento Harmônico Simples e Convolução
(0.5 ponto) a) Sabendo que L[e^a t cos (b t)]=s-a(s-a)^2+b^2 e L[e^a t sen(b t)]=b(s-a)^2+b^2, recupere o valor da transformada de Laplace de sen b t, cos b t e e^a t.

Passo 1

O enunciado pede para recuperar as transformadas de Laplace de sen(bt), cos(bt) e e^at, sabendo que
Ll[e^atcos(bt)r]=s-a(s-a)^2+b^2
e
Ll[e^atsen(bt)r]=b(s-a)^2+b^2.
O conteúdo envolvido é a propriedade de deslocamento no domínio s da transformada de Laplace.

Passo 2

Para obter L[cos(bt)], basta escolher a=0 na fórmula de e^atcos(bt). Assim
L[cos(bt)] =Ll[e^0cdot tcos(bt)r] =s-0(s-0)^2+b^2 =ss^2+b^2

Passo 3

Para obter L[sen(bt)], basta escolher a=0 na fórmula de e^atsen(bt). Assim
L[sen(bt)] =Ll[e^0cdot tsen(bt)r] =b(s-0)^2+b^2 =bs^2+b^2

Passo 4

Para obter L[e^at], considere b=0 na fórmula de e^atcos(bt). Como cos(0cdot t)=1, fica
L[e^at] =Ll[e^atcos(0cdot t)r] =s-a(s-a)^2+0 =1s-a

Resposta

L[cos(bt)] = dfracss^2+b^2
L[sen(bt)] = dfracbs^2+b^2
L[e^at] = dfrac1s - a

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