W=(c a b c ) in R^3 ;(ccc 2 & -1 & 1 lambda & 2 & -2 -2 & 1 & -1 )(c x y z )=(l a b c ) , para algum vetor (l x y z )

Passo 1

O enunciado define
onde
Assim é simplesmente a imagem . Para descrevê-la, vamos estudar o posto de em função de e depois obter um sistema de equações lineares que caracterize .

Passo 2

Calculamos det A para ver se A é invertível:
det A =22&-21&-1 -(-1)lambda&-2-2&-1 +1lambda&2-2&1
Primeiro termo: 2(2cdot(-1)-(-2)cdot1)=2( -2+2)=0.
Segundo termo: (,-lambda-4).
Terceiro termo: lambda+4.
Logo
det A=(-lambda-4)+(lambda+4)=0foralllambda
Portanto rank(A)<3 sempre.

Passo 3

Para determinar se rank(A)=2 ou 1, examinamos um menor 2times2, por ex.
2&-1lambda&2 =4+lambda
Se lambdaneq -4, esse menor é não-nulo e rank(A)=2.
Se lambda=-4, todos os menores 2times2 acabam sendo zero e rank(A)=1 (há pelo menos um elemento não-zero em A).

Passo 4

Caso
As duas últimas são idênticas e, com e . Tomando vem , .
Logo o normal é e o plano é

Passo 5

Caso lambda=-4, rank(A)=1 e dim W=1. As colunas de A são todas múltiplos de (2,-4,-2), logo
W=span(2,-4,-2) =t(2,-4,-2)mid tinR
Em termos de equações, escrevendo (a,b,c)=t(2,-4,-2)
b=-2a, c=-a

Resposta

Para lambdaneq -4,
W=(a,b,c)inR^3 : c=-a
Para lambda=-4,
W=(a,b,c)inR^3 : b=-2a,;c=-a =span(2,-4,-2)

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