(IDECAN/IFPA, PROFESSOR DE FÍSICA, EDITAL 01/2025) Uma gangorra homogênea e perfeitamente rígida, de massa m_{g} e comprimento total L, está em equilíbrio na posição horizontal sobre um fulcro localizado a uma distância d da extremidade esquerda. Uma criança de massa m_{1} senta-se na extremidade esquerda, e outra criança, de massa m_{2}, senta-se a uma distância x da extremidade direita. Sabendo que a gangorra permanece em equilíbrio horizontal, e que a massa da gangorra não pode ser desprezada, assinale a alternativa correta em relação à distância x que garante o equilíbrio.
(a) x=\frac{m_{1} d-\frac{m_{g}}{2}\left(d-\frac{L}{2}\right)}{m_{2}}.
(b) x=\frac{m_{1} d-m_{2} d}{m_{g}}.
(c) x=\frac{m_{1} d-\frac{m_{g}}{2}\left(\frac{L}{2}-d\right)}{m_{2}}.
(d) x=\frac{m_{1} d-\frac{m_{g}}{2}(L-d)}{m_{2}}.
(e) x=\frac{m_{1} d-\frac{m_{g}}{2}(d-L)}{m_{2}}.
Passo 1
O enunciado trata de uma gangorra homogênea de massa m_{g} e comprimento L, apoiada num fulcro a uma distância d da extremidade esquerda. Uma criança de massa m_{1} senta-se na extremidade esquerda e outra de massa m_{2} senta-se a uma distância x da extremidade direita. Como a gangorra fica em equilíbrio horizontal, vamos usar o equilíbrio de torques em torno do fulcro para encontrar x.
Passo 2
Definimos os braços de alavanca (distâncias ao fulcro) dos três pesos:
– Para m_{1}, na extremidade esquerda, o braço é
r_{1}=d.
– Para o peso da gangorra m_{g}, agindo no centro de massa (metade do comprimento), o braço é
r_{g}=\bigl|\tfrac{L}{2}-d\bigr|.
– Para m_{2}, que se senta a x da extremidade direita, sua posição medida a partir da esquerda é L - x, logo o braço até o fulcro é
r_{2}=\,\bigl|\,L - x - d\bigr|.
Passo 3
No equilíbrio, somatório dos torques no sentido horário equals somatório no sentido anti-horário. Tomando o torque de m_{1} (que tende a girar um lado) igual à soma dos torques de m_{g} e m_{2} (que giram o outro lado), e cancelando g em todos os termos, obtemos
m_{1}\,r_{1}\;=\;m_{g}\,r_{g}\;+\;m_{2}\,r_{2}.
Substituindo r_{1}=d, r_{g}=(\tfrac{L}{2}-d) e r_{2}=(L - d - x),
m_{1}\,d \;=\; m_{g}\,\bigl(\tfrac{L}{2}-d\bigr)\;+\;m_{2}\,\bigl(L - d - x\bigr).