Idem:
Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elementos que são LI e os que são LD.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em termos gerais, quando um conjunto com dois vetores é linearmente independente (LI) e quando é linearmente dependente (LD). O conteúdo envolve definição de combinação linear, independência e dependência em espaços vetoriais.

Passo 2

Pela definição, dados dois vetores v1,v2 em um espaço vetorial V sobre um corpo Bbb K, o conjunto v1,v2 é LI se, para escalares alpha,betainBbb K,
alpha,v1+beta,v2=0
implica necessariamente alpha=0 e beta=0.

Passo 3

Por contraposição, v1,v2 é LD se existem escalares (alpha,beta)neq(0,0) tais que
alpha,v1+beta,v2=0

Passo 4

Analisando a equação não trivial, suponha betaneq 0. Então
v2 = -alphabeta,v1,
ou seja, v2 é múltiplo escalar de v1. Se beta=0 e alphaneq0, resulta v1=0. Logo, dependência ocorre exatamente quando um dos vetores é o vetor zero ou quando um vetor é proporcional ao outro.

Passo 5

Concluímos:
  • v1,v2 é LD se e somente se v1=0 ou v2=0 ou existe lambdainBbb K tal que v2=lambda,v1
  • Caso contrário (nenhum vetor zero e nenhum múltiplo escalar), v1,v2 é LI.

Resposta

Um conjunto de dois vetores v1,v2 é linearmente dependente se, e só se, um deles for o vetor zero ou se um for múltiplo escalar do outro. Caso contrário (nenhum é zero e não há proporcionalidade), o conjunto é linearmente independente.

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