Idem:
Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elementos que são LI e os que são LD.
Caracterize, de forma geral, os conjuntos de dois elementos que são LI e os que são LD.
Passo 1
O enunciado pede para descrever, em termos gerais, quando um conjunto com dois vetores é linearmente independente (LI) e quando é linearmente dependente (LD). O conteúdo envolve definição de combinação linear, independência e dependência em espaços vetoriais.
Passo 2
Pela definição, dados dois vetores
em um espaço vetorial
sobre um corpo
, o conjunto
é LI se, para escalares
,
implica necessariamente
e
.
Passo 3
Por contraposição,
é LD se existem escalares
tais que
Passo 4
Analisando a equação não trivial, suponha
. Então
ou seja,
é múltiplo escalar de
. Se
e
, resulta
. Logo, dependência ocorre exatamente quando um dos vetores é o vetor zero ou quando um vetor é proporcional ao outro.
Passo 5
Concluímos:
-
é LD se e somente se ou ou existe tal que - Caso contrário (nenhum vetor zero e nenhum múltiplo escalar),
é LI.
Resposta
Um conjunto de dois vetores
é linearmente dependente se, e só se, um deles for o vetor zero ou se um for múltiplo escalar do outro. Caso contrário (nenhum é zero e não há proporcionalidade), o conjunto é linearmente independente.