Seja V=R^3, A=v1, v2, v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1).
a) (1.5 pontos) determinar o subespaço gerado pelo conjunto A, ou seja, se v= (x, y, z) in G(A), encontre as condições sobre x, y e z.
b) ( 0.5 pontos) descrever brevemente o método e as suposições que foram utilizadas na solução do problema.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço gerado por A=v1,v2 em R^3, onde v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1). O conteúdo envolvido é combinação linear e eliminação de parâmetros para achar a equação do plano gerado pelos dois vetores.

Passo 2

Se v=(x,y,z) pertence a G(A), então existem escalares alpha,betainR tais que
v ;=;alpha,v1+beta,v2
ou seja,
x = alpha + 2beta, y = -2alpha + beta, z = -alpha + beta

Passo 3

Da terceira equação z = -alpha + beta tiramos alpha = beta - z. Substituindo em x = alpha+2beta
x = (beta - z) + 2beta = 3beta - z Longrightarrow beta = x+z3
Logo
alpha = beta - z = x+z3 - z = x-2z3
Agora aplicamos em y = -2alpha + beta:
y = -2!l(tfracx-2z3r) + tfracx+z3 = -2x+4z + x+z3 = -x+5z3,
o que implica
x + 3y - 5z = 0

Passo 4

Portanto o subespaço gerado é o plano através da origem dado por
x + 3y - 5z = 0

Passo 5

Método e suposições: usamos a definição de combinação linear v=alphav1+betav2, igualamos coordenadas para obter um sistema de três equações em alpha,beta, resolvemos por eliminação de parâmetros e extraímos a condição que relaciona (x,y,z). Pressupomos que v1 e v2 são linearmente independentes, de modo que seu span forma um plano em R^3.

Resposta

(a) G(A)=(x,y,z)inR^3mid x+3y-5z=0
(b) Escrevemos v=alphav1+betav2, igualamos coordenadas, eliminamos alpha,beta e encontramos a única relação linear x+3y-5z=0, assumindo que v1,v2 são independentes.

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