Verifique a posição das retas r1:[P1=(-1,2,5), v=(2,1,-3)] em relação a r2: x-3-2=y-42=z+14.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. Precisamos verificar a posição das retas r1 e r2 no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo das retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar as equações paramétricas de cada reta e analisar seus vetores direção para ver se são paralelas, coincidentes, ou se elas se cruzam (intersectam) ou não (retas esquerdas).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta.
Para a reta [r_{1}), temos o ponto e o vetor direção . Então, as equações paramétricas ficam:
onde (t] é um parâmetro real.
Para a reta , a equação está na forma simétrica:
Podemos reescrever isso em forma paramétrica atribuindo um parâmetro :

Passo 3

Agora que temos as equações paramétricas de ambas as retas, vamos identificar os vetores direção de cada uma.
Para r1 , o vetor direção é v1 = (2, 1, -3) .
Para r2 , o vetor direção é v2 = (-2, 2, 4) .
Vamos analisar se esses vetores são proporcionais para determinar se as retas são paralelas.

Passo 4

Vamos verificar se existe um escalar k tal que v1 = k cdot v2 .
Comparando as componentes:
2 = -2k Rightarrow k = -1 1 = 2k Rightarrow k = 12 -3 = 4k Rightarrow k = -34
Como não existe um único valor de k que satisfaça todas as três equações, os vetores direção não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Já que as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, buscamos valores de t e s que satisfaçam as equações:
-1 + 2t = 3 - 2s 2 + t = 4 + 2s 5 - 3t = -1 + 4s
Resolvendo o sistema de equações para t e s .

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação para t :
2 + t = 4 + 2s Rightarrow t = 2 + 2s
Substituindo t na primeira equação:
-1 + 2(2 + 2s) = 3 - 2s -1 + 4 + 4s = 3 - 2s 3 + 4s = 3 - 2s 6s = 0 Rightarrow s = 0
Agora, substituindo s = 0 na expressão para t :
t = 2 + 2(0) = 2

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
5 - 3(2) = -1 + 4(0) 5 - 6 = -1 + 0 -1 = -1
Como a igualdade é verdadeira, os valores t = 2 e s = 0 satisfazem todas as equações. Isso significa que as retas r1 e r2 se intersectam no ponto correspondente a esses valores de parâmetro.

Resposta

As retas r1 e r2 se intersectam no ponto (3, 4, -1) .

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