Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. Precisamos verificar a posição das retas e no espaço. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente no estudo das retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar identificar as equações paramétricas de cada reta e analisar seus vetores direção para ver se são paralelas, coincidentes, ou se elas se cruzam (intersectam) ou não (retas esquerdas).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta.
Para a reta [r_{1}), temos o ponto e o vetor direção . Então, as equações paramétricas ficam:
onde (t] é um parâmetro real.
Para a reta , a equação está na forma simétrica:
Podemos reescrever isso em forma paramétrica atribuindo um parâmetro :
Passo 3
Agora que temos as equações paramétricas de ambas as retas, vamos identificar os vetores direção de cada uma.
Para r1 , o vetor direção é v1 = (2, 1, -3) .
Para r2 , o vetor direção é v2 = (-2, 2, 4) .
Vamos analisar se esses vetores são proporcionais para determinar se as retas são paralelas.
Passo 4
Vamos verificar se existe um escalar k tal que v1 = k cdot v2 .
Comparando as componentes:
2 = -2k Rightarrow k = -1 1 = 2k Rightarrow k = 12 -3 = 4k Rightarrow k = -34
Como não existe um único valor de k que satisfaça todas as três equações, os vetores direção não são proporcionais. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 5
Já que as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, buscamos valores de t e s que satisfaçam as equações:
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
5 - 3(2) = -1 + 4(0) 5 - 6 = -1 + 0 -1 = -1
Como a igualdade é verdadeira, os valores t = 2 e s = 0 satisfazem todas as equações. Isso significa que as retas r1 e r2 se intersectam no ponto correspondente a esses valores de parâmetro.
Resposta
As retas r1 e r2 se intersectam no ponto (3, 4, -1) .