Questão 5: Quais dos subconjuntos do
, com as operações usuais, são subespaços vetoriais?
b)
.
Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar.
b)
Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar.
Passo 1
O enunciado pergunta se o subconjunto
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais. Para isso, precisamos usar os critérios de subespaço: verificar se (i)
, (ii)
é fechado sob soma de vetores e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero pertence a
. Como
satisfaz
e
, temos
Logo, o critério (i) está satisfeito.
Passo 3
Verificamos a clausura sob soma. Sejam
e
. Então
,
,
e
. Ao somar:
e como soma de não-negativos é não-negativo,
e
. Portanto a soma está em
, e o critério (ii) também vale.
Passo 4
Verificamos a clausura sob multiplicação por escalar. Tome um vetor
com
,
e considere um escalar
. Então
Como
e
, segue
, e se
então
. Assim, em geral,
não satisfaz
e
, ficando fora de
. Logo,
não é fechado sob multiplicação por escalar, falhando o critério (iii).
Resposta
O conjunto não é subespaço vetorial, pois não é fechado para multiplicação por escalar.