Questão 5: Quais dos subconjuntos do R^2, com as operações usuais, são subespaços vetoriais?
b) (x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0.
Não é subespaço, por não ser fechado para a multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado pergunta se o subconjunto
W = (x,y)inR^2 mid x>=0,;y>=0
é um subespaço vetorial de R^2 com as operações usuais. Para isso, precisamos usar os critérios de subespaço: verificar se (i) (0,0)in W, (ii) W é fechado sob soma de vetores e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero pertence a W. Como (0,0) satisfaz 0>=0 e 0>=0, temos
(0,0)in W
Logo, o critério (i) está satisfeito.

Passo 3

Verificamos a clausura sob soma. Sejam (x1,y1)in W e (x2,y2)in W. Então x1>=0, y1>=0, x2>=0 e y2>=0. Ao somar:
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2),
e como soma de não-negativos é não-negativo, x1+x2>=0 e y1+y2>=0. Portanto a soma está em W, e o critério (ii) também vale.

Passo 4

Verificamos a clausura sob multiplicação por escalar. Tome um vetor (x,y)in W com x>=0, y>=0 e considere um escalar alpha<0. Então
alpha,(x,y) = (alpha,x,;alpha,y)
Como alpha<0 e x>=0, segue alpha,x<=0, e se x>0 então alpha,x<0. Assim, em geral, (alpha x,alpha y) não satisfaz x>=0 e y>=0, ficando fora de W. Logo, W não é fechado sob multiplicação por escalar, falhando o critério (iii).

Resposta

O conjunto não é subespaço vetorial, pois não é fechado para multiplicação por escalar.

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