Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.
x^2+2 raiz3 x y+3 y^2+2 raiz3 x-2 y=4.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2+2raiz3,xy+3y^2+2raiz3,x-2y=4
que tem termo em xy. O conteúdo é classificação de cônicas por rotação de eixos. Vamos encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo misto e reescrever a equação em (x',y').

Passo 2

Identificamos os coeficientes gerais
A=1, B=2raiz3, C=3, D=2raiz3, E=-2, F=-4
O ângulo theta da rotação satisfaz
tan(2theta)=BA-C=2raiz31-3=-raiz3 Longrightarrow 2theta=-60^circLongrightarrowtheta=-30^circ

Passo 3

Usamos a rotação
x = x'costheta - y'sintheta, y = x'sintheta + y'costheta,
com cos(-30^circ)=tfracraiz32, sin(-30^circ)=-tfrac12. Calculando os novos coeficientes:
A'=0, B'=0, C'=4, D'=4, E'=0, F=-4

Passo 4

A equação em (x',y') fica
4,y'^2+4,x'-4=0 Longrightarrow y'^2+x'-1=0 Longrightarrow x'=1-y'^2
Como só há y'^2 e x' linear, é uma parábola com vértice em (x',y')=(1,0) e eixo paralelo ao eixo x', abrindo para a esquerda.

Passo 5

Esboço do gráfico em :
(é uma parábola com vértice em,(1,0), simétrica em relação ao eixo,x’e abrindo para valores menores de,x’.)]

Resposta

Parábola. Em eixos rotacionados de -30^circ, a equação é
y'^2+x'-1=0,
vértice (1,0), abre para a esquerda.
Esboço: parâbola com vértice em (1,0) no sistema (x',y'), simétrica em torno do eixo x' e abrindo para valores menores de x'.

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