Verifique se cada uma das seguintes matrizes A é diagonalizável ou não. Quando for, determine uma matriz invertível P e determine uma matiz diagonal D tais que A= P cdot D cdot P^-1.
A=(cc 3 & 2 -2 & 8 )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A=3&2-2&8
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que A=PDP^-1. O conteúdo envolve diagonalização de matrizes reais, que requer encontrar autovalores, autovetores e montar uma base de R^2.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A-lambda I=3-lambda&2-2&8-lambda
e portanto
chiA(lambda)=(3-lambda)(8-lambda)-(-2)cdot2=lambda^2-11lambda+28

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos chiA(lambda)=0:
lambda^2-11lambda+28=0implieslambda=11pmraiz121-1122=11pm32,
o que dá lambda1=7 e lambda2=4. Como são distintos, cada um tem multiplicidade algébrica 1, logo a matriz é diagonalizável.

Passo 4

Agora, para cada autovalor, achamos um autovetor não nulo.
Para , resolvemos
Da primeira equação vem , logo podemos escolher .
Para , temos
de onde , e escolhemos .

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores encontrados e a matriz D com os autovalores na diagonal:
P=1&22&1, D=7&00&4
O determinante de P é det(P)=1cdot1-2cdot2=-3neq0, então P é invertível e
A=PDP^-1

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha é:
P=1&22&1, D=7&00&4

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