Seja V um espaço vetorial gerado pelos vetores do conjunto :
S=(1,1,1),(2,2,2),(1,2,3),(4,6,8)

Qual das afirmações está correta?

Escolha uma opção:a. Uma base para V é B=(1,1,1),(1,2,3) e a dimensão de V é igual a 3.b. v=R^3c. Uma base para V é B=(1,1,1),(1,2,3) e a dimensão de V é igual a 2.d. Como V é um conjunto de ternas ordenadas então, a dimensão de V é 3.e. S é um conjunto de vetores linearmente independente.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=(1,1,1),(2,2,2),(1,2,3),(4,6,8)
e define V=Span(S). O objetivo é determinar uma base de V e sua dimensão, usando conceitos de independência linear e geração em R^3.

Passo 2

Observamos que
(2,2,2)=2,(1,1,1)
Logo o vetor (2,2,2) é múltiplo de (1,1,1) e, portanto, não traz nova direção ao espaço gerado.

Passo 3

Verificamos se
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira da segunda vem . Logo são independentes.

Passo 4

Mostramos que
Isso leva ao sistema
cuja solução é . Logo

Passo 5

Concluímos que
V=Span(1,1,1),(1,2,3),
que é um subespaço bidimensional de R^3. Portanto uma base de V é (1,1,1),(1,2,3) e dim V=2. A única opção que coincide é a letra c.

Resposta

c. Uma base para V é (1,1,1),(1,2,3) e a dimensão de V é igual a 2.

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