Seja V um espaço vetorial gerado pelos vetores do conjunto :
Qual das afirmações está correta?
Escolha uma opção:a. Uma base para V é e a dimensão de V é igual a 3.b. c. Uma base para V é e a dimensão de V é igual a 2.d. Como V é um conjunto de ternas ordenadas então, a dimensão de V é 3.e. S é um conjunto de vetores linearmente independente.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e define . O objetivo é determinar uma base de e sua dimensão, usando conceitos de independência linear e geração em .
Passo 2
Observamos que
Logo o vetor é múltiplo de e, portanto, não traz nova direção ao espaço gerado.
Passo 3
Verificamos se
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira da segunda vem . Logo são independentes.
Passo 4
Mostramos que
Isso leva ao sistema
cuja solução é . Logo
Passo 5
Concluímos que
V=Span(1,1,1),(1,2,3),
que é um subespaço bidimensional de R^3. Portanto uma base de V é (1,1,1),(1,2,3) e dim V=2. A única opção que coincide é a letra c.
Resposta
c. Uma base para V é (1,1,1),(1,2,3) e a dimensão de V é igual a 2.