Seja T a transformação dada da seguinte forma:
& T: V: espaço >=rado por 1, sen x, cos x P2 & T(a 1+b cdot sen x+c cdot cos x)=a+c x+b x^2 ç

Podemos afirmar que:

Escolha uma opção:
O a. T não é transformação linear.b. Posto de T=2.c. T não é injetora.d. T não é sobrejetora.e.

T é um isomorfismo entre Ve P2

Passo 1

O enunciado define V=span1,sen x,cos x e
Tl(acdot1+bcdotsen x+ccdotcos xr)=a + c,x + b,x^2
Queremos analisar se T é linear, seu posto, injetividade, sobrejetividade e se é isomorfismo entre V e P2.

Passo 2

Verificamos linearidade: sejam f=a1+b1sen x+c1cos x e g=a2+b2sen x+c2cos x. Então
T(f+g)=Tl((a1+a2)cdot1+(b1+b2)sen x+(c1+c2)cos xr) =(a1+a2)+(c1+c2)x+(b1+b2)x^2
e
T(f)+T(g)=l(a1 + c1x + b1x^2r)+l(a2 + c2x + b2x^2r) =(a1+a2)+(c1+c2)x+(b1+b2)x^2
Também T(lambda f)=lambda T(f). Logo T é linear.

Passo 3

Tomemos como base de V o tripé 1,sen x,cos x e como base de P2 o tripé 1,x,x^2. Calculamos as imagens dos vetores da base de V:
T(1)=1, T(sen x)=x^2, T(cos x)=x
Na base de P2 isso corresponde às colunas
[,T(1),] = 100, [,T(sen x),] = 001, [,T(cos x),] = 010

Passo 4

A matriz de T nessas bases é uma permutação das colunas de uma matriz identidade de ordem 3, logo
det(T)neq0
e o posto de T é dim V=3.

Passo 5

Como posto(T)=3=dim V=dim P2, T é injetora (posto = dimensão do domínio) e sobrejetora (posto = dimensão do contradomínio). Assim T é um isomorfismo.

Resposta

(e) T é um isomorfismo entre V e P2.

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