Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizado e fazer um esboço do gráfico.
7 x^2-6 raiz3 x y+13 y^2+(16-8 raiz3) x-(8+16 raiz3) y=-16.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a cônica dada por
7x^2-6raiz3,xy+13y^2+(16-8raiz3)x-(8+16raiz3)y=-16
e depois escrever sua equação no sistema de coordenadas em que ela fica sem termo misto, finalmente esboçar o gráfico.
Conteúdo: classificação de cônicas por rotação de eixos para eliminar o termo xy.

Passo 2

Para eliminar o termo misto usamos uma rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C =-6raiz37-13 =-6raiz3-6 =raiz3,
logo 2theta=60^circ e theta=30^circ. As fórmulas dos novos coeficientes são
A'=A+C2+A-C2cos2theta+B2sin2theta, C'=A+C2-A-C2cos2theta-B2sin2theta,
e B'=0.

Passo 3

Substituindo A=7, B=-6raiz3, C=13 e cos2theta=tfrac12, sin2theta=tfracraiz32, obtemos
A'=4, C'=16, B'=0
As novas coordenadas são
x = x'cos30^circ - y'sin30^circ, y = x'sin30^circ + y'cos30^circ
Os termos lineares transformam-se via
D' = Dcostheta + Esintheta, E' = -Dsintheta + Ecostheta,
com D=16-8raiz3 e E=-8-16raiz3. Isso dá
D'=-16, E'=-32, F'=16
A equação em (x',y') fica
4x'^2 +16y'^2 -16x' -32y' +16 =0

Passo 4

Agrupando e completando quadrados:
4l(x'^2-4x'r) +16l(y'^2-2y'r) +16=0 ;Longrightarrow; 4l[(x'-2)^2-4r] +16l[(y'-1)^2-1r] +16=0
Longrightarrow 4(x'-2)^2+16(y'-1)^2-16=0 ;Longrightarrow; (x'-2)^24+(y'-1)^21=1
É uma elipse centrada em (2,1) no sistema (x',y'), com semieixos a=2 ao longo de x' e b=1 ao longo de y'.

Resposta

A cônica é uma elipse. No sistema de eixos rotacionados de ângulo theta=30^circ sua equação canônica é
(x'-2)^24 ;+;(y'-1)^21=1
Esboço: elipse centrada em (2,1) em (x',y'), com semieixo maior 2 ao longo de x' e semieixo menor 1 ao longo de y', inclinada de 30^circ em relação ao eixo x.

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