Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares:
r=4 sen theta

Passo 1

O enunciado pede converter a curva dada em coordenadas polares
r = 4 sen theta
para uma equação em coordenadas retangulares (x,y).
Para isso, vamos usar as relações fundamentais
x = rcostheta, y = rsentheta, r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Substituímos sen theta por dfracyr na equação polar:
r = 4,sen theta ;Longrightarrow; r = 4,yr
Multiplicando ambos os lados por r, obtemos
r^2 = 4y

Passo 3

Agora trocamos r^2 por x^2+y^2:
x^2 + y^2 = 4y
Essa já é a forma retangular da curva.

Passo 4

Se quisermos reconhecer o tipo de curva, completamos o quadrado em y:
x^2 + y^2 - 4y = 0 Longrightarrow x^2 + l(y^2 - 4y + 4r) = 4 Longrightarrow x^2 + (y-2)^2 = 4,
que é um círculo de raio 2 e centro em (0,2).

Resposta

A equação em coordenadas retangulares é
x^2 + y^2 = 4y,
ou, equivalentemente,
x^2 + (y-2)^2 = 4

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