Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
4 x^2+9 y^2=36 z.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segunda ordem
4x^2+9y^2=36z
e pede (a) sua classificação como quádricas e (b) os traços com planos paralelos aos planos coordenados. O conteúdo é estudo de superfícies quadráticas, em particular a identificação e exame de seções planas (traços).

Passo 2

Isolamos z para pôr em forma canônica. Dividindo ambos os lados por 36 tem-se
z ;=;4x^2+9y^236 ;=;x^29+y^24

Passo 3

A forma
z = x^2a^2 + y^2b^2
com a^2=9, b^2=4 é a definição de um paraboloide elíptico que se abre para z>0. Logo, a superfície é um paraboloide elíptico com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo z.

Passo 4

Traço com plano horizontal z = z0. Substituindo em
4x^2+9y^2=36z0
temos, para z0>0, a elipse
x^29z0 + y^24z0 = 1,
para z0=0 só resta o ponto (0,0,0) e para z0<0 não há interseção real.

Passo 5

Traço com plano vertical x = x0. A equação vira
9y^2 = 36z - 4x0^2 Long<=ftrightarrow z = x0^29 + y^24,
que é uma parábola no plano yz, com vértice em l(y=0,;z=tfracx0^29r) e concavidade para z>0.

Passo 6

Traço com plano vertical y = y0. Análogo ao caso anterior:
4x^2 = 36z - 9y0^2 Long<=ftrightarrow z = y0^24 + x^29,
que é uma parábola no plano xz, com vértice em l(x=0,;z=tfracy0^24r) e concavidade para z>0.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico z=tfracx^29+tfracy^24.
Traços:
(a) em z=z0 (horizontal) aparece a elipse tfracx^29z0+tfracy^24z0=1 para z0>0; ponto único para z0=0; vazio para z0<0.
(b) em x=x0 (vertical) aparece a parábola z=tfracx0^29+tfracy^24.
(c) em y=y0 (vertical) aparece a parábola z=tfracy0^24+tfracx^29.

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