Identificar as quádricas representadas pelas equações seguintes, determinando seus traços com planos paralelos aos planos coordenados.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de segunda ordem
e pede (a) sua classificação como quádricas e (b) os traços com planos paralelos aos planos coordenados. O conteúdo é estudo de superfícies quadráticas, em particular a identificação e exame de seções planas (traços).
Passo 2
Isolamos
para pôr em forma canônica. Dividindo ambos os lados por
tem-se
Passo 3
A forma
com
,
é a definição de um paraboloide elíptico que se abre para
. Logo, a superfície é um paraboloide elíptico com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo
.
Passo 4
Traço com plano horizontal
. Substituindo em
temos, para
, a elipse
para
só resta o ponto
e para
não há interseção real.
Passo 5
Traço com plano vertical
. A equação vira
que é uma parábola no plano
, com vértice em
e concavidade para
.
Passo 6
Traço com plano vertical
. Análogo ao caso anterior:
que é uma parábola no plano
, com vértice em
e concavidade para
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico
.
Traços:
(a) em (horizontal) aparece a elipse
para
; ponto único para
; vazio para
.
(b) em (vertical) aparece a parábola
.
(c) em (vertical) aparece a parábola
.
Traços:
(a) em
(b) em
(c) em