Identificar a superfície S:-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{16}=1 e a sua interseção com o plano \pi: x=2. (2.0)

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{16}=1
e o plano \pi: x=2. O conteúdo do problema é a classificação de quádricas de segundo grau e o estudo da interseção com um plano.

Passo 2

Para classificar a quádrica, reescrevemos a equação isolando o termo positivo:
\frac{z^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1.
Aqui temos um quadrado positivo ( z^{2}) e dois quadrados negativos ( x^{2},y^{2}) igual a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixo ao longo de z e vértices em (0,0,\pm4).

Passo 3

Para encontrar a interseção com o plano x=2, substituímos x=2 na equação de S:
-\frac{(2)^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}+\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad -1 - \frac{y^{2}}{8} + \frac{z^{2}}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=2.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 16, obtemos a curva de interseção no plano x=2:
z^{2}-2\,y^{2}=32 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{z^{2}}{32}-\frac{y^{2}}{16}=1.
Esta é a equação de uma hipérbole centrada em (2,0,0) que se abre ao longo do eixo z.

Resposta

A superfície S é um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de z.
A interseção S\cap\pi (onde x=2) é a hipérbole
\frac{z^{2}}{32}-\frac{y^{2}}{16}=1
no plano x=2.

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