Verifique a posição relativa das retas abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de intersecção.
r:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x-10\end{array}, s: \frac{x}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2}\right..

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa das retas
r:\begin{cases} y=2x-3,\\\ z=-x-10 \end{cases}
e
s:\frac{x}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z+1}{-2},
ou seja, ver se são paralelas, concorrentes (intersectam) ou reversas; e, se concorrentes, achar o ponto de interseção.

Passo 2

Escrevemos ambas em forma paramétrica. Para r\), tomamos \(t\) como parâmetro: \[\begin{cases} x=t,\\\ y=2t-3,\\\ z=-t-10. \end{cases}
Logo o vetor direção de r\] é \(\mathbf{d}_r=(1,2,-1).

Passo 3

Para s\), chamamos o parâmetro de \(u\): \[\begin{cases} x=u,\\\ y=4+3u,\\\ z=-1-2u. \end{cases}
O vetor direção de s\] é \(\mathbf{d}_s=(1,3,-2).

Passo 4

Verificamos se \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s são múltiplos escalares.
\mathbf{d}_r=(1,2,-1) não é proporcional a (1,3,-2), pois não existe \lambda tal que
(1,2,-1)=\lambda(1,3,-2).
Portanto as retas não são paralelas.

Passo 5

Para testar interseção, igualamos as coordenadas:
\begin{cases} t = u,\\\\ 2t-3 = 4+3u,\\\\ -\,t-10 = -1-2u. \end{cases}
Da primeira equação vem t=u. Substituindo na segunda:
2t-3 = 4+3t\implies -t=7\implies t=-7.
Na terceira:
-(-7)-10 = -1-2(-7)\implies 7-10 = -1+14\implies -3 = 13,
que é impossível. Logo não há solução comum.

Resposta

As retas são reversas (não paralelas e sem ponto de interseção).

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