Identifique cada um dos conjuntos de pontos dados.
|z-2|=2|z+2 i|

Passo 1

O enunciado pede identificar o conjunto de pontos zinC tais que
|z-2| = 2,|z+2i|
Esse tipo de condição, em que as distâncias de um ponto a dois pontos fixos mantêm razão constante, define um círculo de Apolônio. Para resolver, vamos escrever z = x + iy e traduzir a condição em coordenadas cartesianas usando a definição de módulo.

Passo 2

Escrevendo z = x + iy, temos
|z-2| = raiz(x-2)^2 + y^2, |z+2i| = raizx^2 + (y+2)^2
Logo a equação é
raiz(x-2)^2 + y^2 = 2,raizx^2 + (y+2)^2

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes, obtemos
(x-2)^2 + y^2 = 4l(x^2 + (y+2)^2r)

Passo 4

Expandindo e coletando termos:
x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 + 16y + 16
Longrightarrow 3x^2 + 3y^2 + 4x + 16y + 12 = 0
Dividindo toda a equação por 3, fica
x^2 + y^2 + tfrac43x + tfrac163y + 4 = 0

Passo 5

Para identificar centro e raio, completamos quadrados:
x^2 + tfrac43x = l(x + tfrac23r)^2 - tfrac49, y^2 + tfrac163y = l(y + tfrac83r)^2 - tfrac649
Substituindo na equação e isolando os termos quadráticos:
l(x + tfrac23r)^2 + l(y + tfrac83r)^2 = tfrac329

Resposta

O conjunto é um círculo de centro l(-tfrac23,-tfrac83r) e raio tfrac4raiz23.

Exercícios relacionados