Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(e) sumn=2^infty 44 n^2+4 n-3

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=2^infty44n^2+4n-3
O método é reconhecer que ela é telescópica via frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
4n^2+4n-3 =4l(n^2+n-tfrac34r) =4(n+tfrac32)(n-tfrac12)
Logo
44n^2+4n-3 =1(n-tfrac12)(n+tfrac32)

Passo 3

Fazemos a decomposição
1(n-tfrac12)(n+tfrac32) =An-tfrac12+Bn+tfrac32
Multiplicando ambos os lados por (n-tfrac12)(n+tfrac32) e comparando coeficientes, obtemos
A=tfrac12, B=-tfrac12,
ou seja
1(n-tfrac12)(n+tfrac32) =1/2n-tfrac12-1/2n+tfrac32

Passo 4

O somatório parcial até N é
SN =sumn=2^Nl(1/2n-tfrac12-1/2n+tfrac32r)
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam, restando
SN =12l(13/2+15/2-12N+1-12N+3r)

Passo 5

Calculando os termos fixos:
13/2+15/2 =23+25 =10+615 =1615
Logo
SN =12l(1615-12N+1-12N+3r) = 815-12N+1-12N+3
Fazendo Ntoinfty, os últimos dois termos vão a zero, e a soma converge para

Resposta

sumn=2^infty44n^2+4n-3 =815

Exercícios relacionados