Identifique cada uma das superfícies e escreva na forma reduzida:
36 x^{2}-4 y^{2}+9 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau
36x^{2}-4y^{2}+9z^{2}=0
e pede (a) que identifiquemos o tipo de quadric e (b) que a escrevamos em forma reduzida. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas homogêneas (cones, cilindros, hiperboloides etc.) e redução a forma canônica.

Passo 2

Como não há termo linear nem termo constante, trata-se de um quadric homogêneo de grau 2, isto é, um cone de vértice na origem. Para ver o tipo de cone, analisamos os sinais dos coeficientes dos termos quadráticos:
  • coeficiente de x^{2} é +36,
  • coeficiente de y^{2} é -4,
  • coeficiente de z^{2} é +9.
Temos duas direções positivas ( x e z) e uma negativa ( y), logo é um cone duplo elíptico de eixo ao longo de y.

Passo 3

Para obter a forma reduzida, dividimos toda a equação por 36 e reorganizamos:
\frac{36x^{2}}{36}-\frac{4y^{2}}{36}+\frac{9z^{2}}{36}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-\frac{1}{9}y^{2}+\frac{1}{4}z^{2}=0.
Isolando em forma padrão de cone:
x^{2}+\frac{1}{4}z^{2}=\frac{1}{9}y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=0.

Resposta

É um cone duplo elíptico cuja forma reduzida é
\frac{x^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=0.

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