Identifique e classifique todos os pontos críticos de
f(x, y)=x^55-x+y^55-16 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos da função
f(x,y)=x^55-x+y^55-16y
Para isso vamos usar o conceito de ponto crítico (onde o gradiente é nulo) e depois analisar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=x^4-1
partial fpartial y=y^4-16

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
x^4-1=0implies x=pm1,
y^4-16=0implies y=pm2
Logo os pontos críticos são
(1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2)

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H, cujos elementos são as segundas derivadas:
H(x,y)= Dxx & Dxy Dyx & Dyy = 4x^3 & 0 0 & 4y^3

Passo 5

Avaliamos H em cada ponto crítico e usamos o sinal de Dxx e Dyy para classificar:
(1,2):
Dxx=4cdot1^3=4>0,
Dyy=4cdot2^3=32>0 Rightarrow Hessiana definida positiva Rightarrow mínimo local.
(1,-2):
Dxx=4>0,
Dyy=4cdot(-2)^3=-32<0 Rightarrow sinais mistos Rightarrow ponto de sela.
(-1,2):
Dxx=4cdot(-1)^3=-4<0,
Dyy=32>0 Rightarrow sinais mistos Rightarrow ponto de sela.
(-1,-2):
Dxx=-4<0,
Dyy=-32<0 Rightarrow Hessiana definida negativa Rightarrow máximo local.

Resposta

(1,2) é mínimo local.
(1,-2) é ponto de sela.
(-1,2) é ponto de sela.
(-1,-2) é máximo local.

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