Problema de crescimento e decrescimento: A função f(x)=3 x^2-4 x+2x+1 descreve o comportamento de uma substância química no tempo x. Determine os intervalos em que a substância está crescendo e os intervalos em que está decrescendo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^2-4x+2x+1
definida para xneq -1 e pede os intervalos em que f cresce ou decresce.
Conteúdo: vamos usar a derivada e o teste de sinais de f'(x).

Passo 2

Calcular a derivada pelo quociente. Se
u(x)=3x^2-4x+2, v(x)=x+1,
então
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(6x-4)(x+1)-(3x^2-4x+2)cdot1(x+1)^2
Desenvolvendo o numerador:
(6x-4)(x+1)=6x^2+2x-4, (6x^2+2x-4)-(3x^2-4x+2)=3x^2+6x-6
Logo
f'(x)=3x^2+6x-6(x+1)^2 =3l(x^2+2x-2r)(x+1)^2 =3l((x+1)^2-3r)(x+1)^2

Passo 3

Encontrar os pontos críticos anulando o numerador:
(x+1)^2-3=0 ;Longrightarrow; (x+1)^2=3 ;Longrightarrow; x+1=pmraiz3 ;Longrightarrow; x=-1pmraiz3
Além disso x=-1 não está no domínio.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x). Como (x+1)^2>0 sempre (exceto em x=-1), o sinal de f'(x) é o mesmo de
(x+1)^2-3
Temos
(x+1)^2-3 <0,&se -1-raiz3<x<-1+raiz3, >0,&se x<-1-raiz3 ou x>-1+raiz3

Passo 5

Concluímos que
  • f'(x)>0 (cresce) em
(-infty,,-1-raiz3);cup;(-1+raiz3,,infty)
  • f'(x)<0 (decresce) em
(-1-raiz3,,-1);cup;(-1,,-1+raiz3)

Resposta

A substância cresce nos intervalos
(-infty,,-1-raiz3)e(-1+raiz3,,infty),
e decresce em
(-1-raiz3,,-1)e(-1,,-1+raiz3)

Exercícios relacionados