Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condiçÔes iniciais do PVI, a solução particular.
y{\prime}+y{2} \operatorname{sen}(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + y^2sin(x)=0,
isto é, encontrar a solução geral (e particular se houvesse condição inicial). Vamos usar a técnica de separação de variáveis, que consiste em escrever todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro, e depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo a derivada, temos
dydx = -,y^2sin(x)
Agora separamos as variáveis y e x:
dyy^2 = -,sin(x),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 ;=;integral -sin(x),dx
Usando integral y^-2dy = -tfrac1y e integral -sin(x),dx = cos(x), obtemos
-1y = cos(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, primeiro invertemos o sinal e depois tomamos inverso:
1y = -cos(x) - C = C1 - cos(x),
onde definimos C1=-C (ainda constante arbitrária). Portanto
y(x) = 1C1 - cos(x)

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = 1C - cos(x),
onde C é uma constante arbitrária.

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