(Questão 06) [2,0 pontos] Sabendo que \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=3 \overrightarrow{e_{2}} e \overrightarrow{f_{3}}=3 \overrightarrow{e_{2}}-4 \overrightarrow{e_{3}}, e que \vec{u}=-4 \overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{3}}, determine a decomposição de \vec{u} na base E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em função da base E=(\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}):
\overrightarrow f_{1}=\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{3},\quad \overrightarrow f_{2}=3\,\overrightarrow e_{2},\quad \overrightarrow f_{3}=3\,\overrightarrow e_{2}-4\,\overrightarrow e_{3},
e define \vec u=-4\,\overrightarrow f_{1}+\overrightarrow f_{2}-\overrightarrow f_{3}. Queremos escrever \vec u como combinação linear de \overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}.

Passo 2

Substituímos cada \overrightarrow f_{i} na expressão de \vec u:
\vec u=-4(\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{3}) +3\,\overrightarrow e_{2} -\bigl(3\,\overrightarrow e_{2}-4\,\overrightarrow e_{3}\bigr).

Passo 3

Distribuímos os coeficientes e removemos o parênteses:
\vec u=-4\,\overrightarrow e_{1} +4\,\overrightarrow e_{3} +3\,\overrightarrow e_{2} -3\,\overrightarrow e_{2} +4\,\overrightarrow e_{3}.

Passo 4

Agora, agrupamos termos semelhantes em \overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3}:
- Coeficiente de \overrightarrow e_{1}: -4.
- Coeficiente de \overrightarrow e_{2}: 3-3=0.
- Coeficiente de \overrightarrow e_{3}: 4+4=8.
Logo,
\vec u=-4\,\overrightarrow e_{1}+0\,\overrightarrow e_{2}+8\,\overrightarrow e_{3}.

Resposta

\displaystyle \vec u=(-4,\,0,\,8) na base E.

Exercícios relacionados