Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada. Justifique sua resposta.
\left(\begin{array}{rrrrrr}1 & 1 & -2 & 3 & 0 & -24 \\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -27 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\end{array}\right)

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 & 0 & -24\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -27\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e queremos verificar se ela está em forma escalonada. Lembrando que uma matriz está em forma escalonada (row echelon form) se satisfaz três condições principais:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula está estritamente à direita do pivô da linha acima.
  3. Abaixo de cada pivô todos os elementos são zero.

Passo 2

Identificamos o pivô de cada linha não nula:
  • Na primeira linha o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 1.
  • Na segunda linha o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 2.
  • Na terceira linha o primeiro elemento não nulo é 1 na coluna 5.

Passo 3

Verificamos a posição dos pivôs e os zeros abaixo:
  • As colunas dos pivôs são 1, 2 e 5, e de fato 1<2<5, ou seja, cada pivô está à direita do da linha anterior.
  • Abaixo do pivô da primeira linha (coluna 1) temos zeros nas linhas 2 e 3; abaixo do pivô da segunda linha (coluna 2) temos zero na linha 3; abaixo do pivô da terceira linha não há linhas.

Passo 4

Verificamos se há linhas nulas acima de linhas não nulas. Aqui não existe nenhuma linha completamente nula, portanto essa condição está automaticamente satisfeita.

Resposta

A matriz está em forma escalonada.

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