Identifique a cônica cuja equação é
25 x^{2}+16 y^{2}+150 x-128 y-1119=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
25x^2 + 16y^2 + 150x - 128y - 1119 = 0
e pede para identificar a cônica. Vamos usar a classificação via sinais dos coeficientes de x^2 e y^2 e, em seguida, completar quadrados para obter a forma canônica.

Passo 2

Observamos os coeficientes de x^2 e y^2: são 25 e 16, ambos positivos e distintos. Isso indica que a cônica é uma elipse. Para determinar seu centro e semieixos, precisamos completar quadrados nos grupos de x e de y.

Passo 3

Agrupamos os termos em x e em y de um lado e isolamos a constante:
25x^2 + 150x \;+\; 16y^2 - 128y \;=\; 1119

Passo 4

Completamos o quadrado em cada grupo:
x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9,
y^2 - 8y = (y-4)^2 - 16.
Substituindo e rearranjando:
25\bigl((x+3)^2 - 9\bigr) \;+\; 16\bigl((y-4)^2 - 16\bigr) = 1119
25(x+3)^2 - 225 \;+\; 16(y-4)^2 - 256 = 1119
25(x+3)^2 + 16(y-4)^2 = 1119 + 225 + 256 = 1600

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 1600, obtemos a forma canônica:
\frac{(x+3)^2}{64} \;+\; \frac{(y-4)^2}{100} = 1.

Passo 6

Da forma canônica concluímos que a cônica é uma elipse com:
– Centro em (-3,4).
– Semieixo maior a = 10 na direção de y.
– Semieixo menor b = 8 na direção de x.

Resposta

A cônica é uma elipse centrada em (-3,4) cuja equação canônica é
\frac{(x+3)^2}{64} + \frac{(y-4)^2}{100} = 1,
com semieixos de comprimentos 8 (horizontal) e 10 (vertical).

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