Sendo y=y(x), resolva :
(2,0 pontos ) y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=x CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de terceira ordem
y''' + y'' - 2y' = x
O conteúdo aqui é método geral para EDOs lineares: vamos achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para incorporar o termo x.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''' + y'' - 2y' = 0.
Definimos a equação característica
r^3 + r^2 - 2r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(r^2 + r - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(r+2)(r-1)=0.
As raízes são r=0, r=-2 e r=1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p do problema não homogêneo com termo x, tentamos um polinômio de grau 1, mas como r=0 é raiz simples da característica, multiplicamos por x. Assim propomos
y_p = A x^2 + B x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2A x + B, \quad y_p'' = 2A, \quad y_p''' = 0.
Substituindo em y''' + y'' - 2y' = x obtemos
0 + 2A -2(2A x + B) = -4A x + (2A -2B) = x.
Comparando coeficientes em x e constantes:
-4A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac14,
2A - 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\bigl(-\tfrac14\bigr) - 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac14.
Logo
y_p = -\tfrac14 x^2 - \tfrac14 x.

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x} \;-\;\tfrac14 x^2 - \tfrac14 x.

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}x.

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