Sendo y=y(x), resolva :
( 1.5 pontos) Resolva:
2 x^{3} y^{\prime}-3 x^{2} y=y^{3} ; y(2)=1

CÁLCULO:

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de primeira ordem
2x^{3}y' - 3x^{2}y = y^{3},
com condição inicial y(2)=1. Esse é um caso de equação de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com n=3.

Passo 2

Dividindo a equação original por 2x^{3}, obtemos a forma padrão:
y' - \frac{3}{2x}\,y = \frac{1}{2x^{3}}\,y^{3}.
Aqui P(x)=-\tfrac{3}{2x}, Q(x)=\tfrac{1}{2x^{3}} e n=3.

Passo 3

Para resolver Bernoulli, fazemos a substituição
u = y^{1-n} = y^{-2}.
Calculamos
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.
Como
\frac{dy}{dx} = \frac{3y}{2x} + \frac{y^{3}}{2x^{3}},
segue
\frac{du}{dx} = -2\,y^{-3}\Bigl(\frac{3y}{2x} + \frac{y^{3}}{2x^{3}}\Bigr) = -\frac{3}{x}\,y^{-2} \;-\;\frac{1}{x^{3}} = -\frac{3}{x}\,u \;-\;\frac{1}{x^{3}}.
Logo obtemos a equação linear
\frac{du}{dx} + \frac{3}{x}\,u = -\frac{1}{x^{3}}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = x^{3}.
Multiplicando a equação linear por x^{3},
x^{3}\frac{du}{dx} + 3x^{2}u = -1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}u\bigr) = -1.
Integrando em x,
x^{3}u = -x + C \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{-x + C}{x^{3}} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^{-2} = \frac{C - x}{x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{x^{3}}{C - x} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{\frac{x^{3}}{C - x}}.
Usando y(2)=1,
1 = \sqrt{\frac{2^{3}}{C - 2}} \;\Longrightarrow\; 1 = \frac{8}{C - 2} \;\Longrightarrow\; C = 10.
Como queremos y(2)=+1, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = \sqrt{\frac{x^{3}}{10 - x}}.

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