Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
2x^2+y^2=50

Passo 1

O enunciado apresenta a curva de equação
2x^2 + y^2 = 50
e pede para identificarmos o tipo de cônica, achar vértices, focos e medidas dos eixos. Para isso, vamos colocar a equação na forma padrão de uma elipse ou hipérbole/parábola conforme o caso.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 50 para normalizar:
2x^250 + y^250 = 1
e simplificamos o primeiro termo:
x^225 + y^250 = 1

Passo 3

Como ambos os termos aparecem com sinal positivo, trata-se de uma elipse. Os denominadores são
b^2 = 25, a^2 = 50,
onde escolhemos a^2 como o maior denominador. Aqui o eixo maior está ao longo do eixo y.

Passo 4

Os semi-eixos são
a = raiz50 = 5raiz2, b = raiz25 = 5
Os vértices ao longo do eixo maior ( y) são
(0,pm a) = l(0,pm 5raiz2r)
e os vértices (co-vértices) ao longo do eixo menor ( x) são
(pm b,0) = (pm5,0)

Passo 5

Para achar os focos de uma elipse usa-se
c^2 = a^2 - b^2 = 50 - 25 = 25 Longrightarrow c = 5
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam em
(0,pm c) = (0,pm5)

Passo 6

As medidas dos eixos são
eixo maior = 2a = 2cdot5raiz2 = 10raiz2, eixo menor = 2b = 2cdot5 = 10

Resposta

Elipse com:
vértices em (0,pm5raiz2) e (pm5,0);
focos em (0,pm5);
comprimento do eixo maior 10raiz2 e do eixo menor 10.

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