Seja
.
Estime
Estime
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e queremos estimar o valor de
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a aproximação linear ou linearização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e usar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, a gente escolhe um ponto próximo de (1, 2) onde a função seja fácil de calcular. Vamos escolher o ponto
porque, substituindo na função, fica
. Esse será nosso ponto de referência para a aproximação.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Em
, isso fica:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Em
, isso fica:
Passo 4
Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a aproximação linear da função em torno do ponto
. A fórmula da aproximação linear é:
Aqui,
, então:
Isso significa que, próximo de
, a função
é aproximadamente igual a 6.
Passo 5
Agora, vamos usar essa aproximação para estimar
. Pela aproximação linear que encontramos:
Então, a estimativa de
é 6.
Resposta
A estimativa de
é 6.