Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2.
Estime f(1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = raiz36 - 9x^2 - 4y^2 e queremos estimar o valor de f(1, 2) . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a aproximação linear ou linearização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e usar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe um ponto próximo de (1, 2) onde a função seja fácil de calcular. Vamos escolher o ponto (0, 0) porque, substituindo na função, fica f(0, 0) = raiz36 - 0 - 0 = 6 . Esse será nosso ponto de referência para a aproximação.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
fx(x, y) = partialpartial x raiz36 - 9x^2 - 4y^2 = -9xraiz36 - 9x^2 - 4y^2
Em (0, 0) , isso fica:
fx(0, 0) = -9 cdot 06 = 0
Agora, a derivada parcial em relação a y :
fy(x, y) = partialpartial y raiz36 - 9x^2 - 4y^2 = -8yraiz36 - 9x^2 - 4y^2
Em (0, 0) , isso fica:
fy(0, 0) = -8 cdot 06 = 0

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, podemos montar a aproximação linear da função em torno do ponto (0, 0) . A fórmula da aproximação linear é:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Aqui, (a, b) = (0, 0) , então:
L(x, y) = 6 + 0 cdot (x - 0) + 0 cdot (y - 0) = 6
Isso significa que, próximo de (0, 0) , a função f(x, y) é aproximadamente igual a 6.

Passo 5

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar f(1, 2) . Pela aproximação linear que encontramos:
f(1, 2) approx L(1, 2) = 6
Então, a estimativa de f(1, 2) é 6.

Resposta

A estimativa de f(1, 2) é 6.

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