Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
16x^2+25y^2=400

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
16x^2+25y^2=400
e pede para identificar a cônica e encontrar vértices, focos, medidas dos eixos (e, se fosse hipérbole, as assíntotas ou, se fosse parábola, a reta diretriz). Aqui vamos identificar e detalhar os parâmetros de uma elipse.

Passo 2

Para colocar em forma canônica, dividimos ambos os lados por 400:
16x^2400 ;+;25y^2400 ;=;1
que simplifica para
x^225+y^216=1

Passo 3

Comparando com a forma
x^2a^2+y^2b^2=1,
vemos que a^2=25 e b^2=16. Como a^2>b^2, o eixo maior da elipse é horizontal e a=raiz25=5, b=raiz16=4.

Passo 4

Os vértices ficam em (pm a,0) e os co-vértices em (0,pm b). Logo:
vértices (pm5,0)
co-vértices (0,pm4).

Passo 5

A distância focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=25-16=9,
portanto c=raiz9=3. Os focos são (pm3,0).

Passo 6

O comprimento do eixo maior é
2a=2cdot5=10
e o do eixo menor é
2b=2cdot4=8

Resposta

Elipse centrada em (0,0) com eixo maior horizontal; vértices em (pm5,0); co-vértices em (0,pm4); focos em (pm3,0); comprimento do eixo maior 10 e do eixo menor 8.

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