Identifique a cônica
, isto é, diga se é parábola, hipérbole ou elipse justificando sua resposta.
Determine qual vértice está mais próximo da reta
.
Determine qual vértice está mais próximo da reta
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede duas coisas:
- Identificar se é parábola, elipse ou hipérbole.
- Determinar qual vértice está mais próximo da reta
Para resolver, vamos reescrever a equação em forma canônica, extrair os vértices e depois usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Reescrevendo a equação em termos padrão:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é exatamente a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso horizontal. Logo, a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
Na forma
temos
e
, então
. Os vértices estão em
Passo 4
A distância de um ponto
à reta
é
Aqui
A=-20 ,
B=31 e
C=1 .
Passo 5
Calculemos para cada vértice:
Para(3,0) :
Para
Para
(-3,0) :
Passo 6
Comparando
vemos que
59raiz1361 é menor. Portanto, o vértice
(3,0) está mais próximo da reta dada.
Resposta
É uma hipérbole, e o vértice mais próximo da reta
-20x+31y+1=0 é
(3,0) .