Identifique a cônica 4 x^2=9 y^2+36, isto é, diga se é parábola, hipérbole ou elipse justificando sua resposta.
Determine qual vértice está mais próximo da reta -20 x+31 y+1=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4x^2 = 9y^2 + 36
e pede duas coisas:
  1. Identificar se é parábola, elipse ou hipérbole.
  2. Determinar qual vértice está mais próximo da reta
-20x + 31y + 1 = 0
Para resolver, vamos reescrever a equação em forma canônica, extrair os vértices e depois usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Reescrevendo a equação em termos padrão:
4x^2 - 9y^2 = 36
Dividindo ambos os lados por 36:
x^29 - y^24 = 1
Essa é exatamente a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso horizontal. Logo, a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Na forma
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
temos a^2=9 e b^2=4, então a=3. Os vértices estão em
(pm a,,0) = (pm3,,0)

Passo 4

A distância de um ponto (x0,y0) à reta Ax+By+C=0 é
d=l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2
Aqui A=-20, B=31 e C=1.

Passo 5

Calculemos para cada vértice:
Para (3,0):
-20cdot3 + 31cdot0 +1 = -60 +1 = -59,
d1 = lvert -59rvertraiz(-20)^2 + 31^2 = 59raiz400 + 961 = 59raiz1361
Para (-3,0):
-20cdot(-3) + 31cdot0 +1 = 60 +1 = 61,
d2 = 61raiz1361

Passo 6

Comparando
59raiz1361e61raiz1361,
vemos que 59raiz1361 é menor. Portanto, o vértice (3,0) está mais próximo da reta dada.

Resposta

É uma hipérbole, e o vértice mais próximo da reta -20x+31y+1=0 é (3,0).

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