Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
12 x^{2}+12 y^{2}+12 z^{2}+16 x y+12 y z=2.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segundo grau em \mathbb{R}^3
12x^{2}+12y^{2}+12z^{2}+16xy+12yz=2
e pede para identificar de que tipo de quádricas se trata. Vamos usar a representação matricial da forma quadrática e analisar seus autovalores.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática como
\begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =2
onde
A=\begin{pmatrix} 12 & 8 & 0\\\\ 8 &12 & 6\\\\ 0 & 6 &12 \end{pmatrix}
porque o termo 16xy corresponde a 2\cdot8\,xy e 12yz a 2\cdot6\,yz.

Passo 3

Para classificar a quádricas, achamos os autovalores de A resolvendo
\det(A-\lambda I)=0.
O polinômio característico factoriza-se como
(12-\lambda)\bigl(\lambda^2-24\lambda+44\bigr)=0
cuja raiz simples é \lambda=12 e as outras duas raízes vêm de
\lambda^2-24\lambda+44=0
com discriminante 576-176=400, dando
\lambda=\frac{24\pm20}2\;\Longrightarrow\;\lambda=2\quad\text{ou}\quad\lambda=22.

Passo 4

Os três autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=12 e \lambda_3=22, todos positivos. Isso significa que a forma quadrática é definida-positiva, logo a superfície é uma elipsoide central, com eixos principais alinhados às direções dos autovetores.

Resposta

A superfície dada é um elipsoide.

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