Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em (x,y,z) -x^{2}-y^{2}-z^{2}+2xy+2xz+2yz=2.
Isso é uma cônica/quádrica em \mathbb{R}^3. Para classificar, vamos montar a forma quadrática associada, diagonalizá-la e usar a assinatura dos coeficientes na forma canônica.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática como \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, onde
B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
porque o coeficiente de x^2 é -1, de xy é 2 (logo B_{12}=B_{21}=1), e assim por diante.

Passo 3

Calculamos os autovalores de B. Note que
B\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
logo \lambda_{1}=1. Para qualquer vetor v ortogonal a (1,1,1), verifica-se
Bv=-2\,v,
então \lambda_{2}=\lambda_{3}=-2. A assinatura é (+,-,-).

Passo 4

Em uma base ortonormal \{u,v,w\} com u\parallel(1,1,1), a equação fica
\lambda_{1}U^{2}+\lambda_{2}V^{2}+\lambda_{3}W^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad U^{2}-2V^{2}-2W^{2}=2.
Dividindo por 2,
\frac{U^{2}}{2}-V^{2}-W^{2}=1.

Passo 5

A forma canônica \tfrac{U^{2}}{2}-V^{2}-W^{2}=1 tem um coeficiente positivo e dois negativos, o que caracteriza um hiperboloide de duas folhas. O eixo principal é a reta x=y=z (direção de U).

Resposta

A superfície é um hiperboloide de duas folhas, centrado na origem e com eixo principal ao longo de x=y=z.

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