Identifique as cônicas e quádricas a seguir. -x^{2}-y^{2}-z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=2.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em (x,y,z)-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2xy+2xz+2yz=2.
Isso é uma cônica/quádrica em \mathbb{R}^3. Para classificar, vamos montar a forma quadrática associada, diagonalizá-la e usar a assinatura dos coeficientes na forma canônica.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática como \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}B\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, onde
A forma canônica \tfrac{U^{2}}{2}-V^{2}-W^{2}=1 tem um coeficiente positivo e dois negativos, o que caracteriza um hiperboloide de duas folhas. O eixo principal é a reta x=y=z (direção de U).
Resposta
A superfície é um hiperboloide de duas folhas, centrado na origem e com eixo principal ao longo de x=y=z.