Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
5 x^{2}+6 y^{2}+7 z^{2}-4 x y+4 y z=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície quádrupla em \mathbb{R}^3 dada pela equação homogênea de segundo grau
5x^2 + 6y^2 + 7z^2 - 4xy + 4yz = 0.
O conteúdo aqui é classificação de quádricas homogêneas por meio da análise da forma quadrática associada.

Passo 2

Associamos à forma quadrática a matriz simétrica A tal que
(x,y,z)\,A\,(x,y,z)^{T} =5x^2 + 6y^2 + 7z^2 - 4xy + 4yz.
Os coeficientes de termo cruzado indicam
A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 0\\\\ -2 & 6 & 2\\\\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix},
pois o termo -4xy corresponde a 2(-2)\,xy e 4yz corresponde a 2\cdot2\,y\,z.

Passo 3

Para verificar o tipo de A, calculamos os menores principais: \Delta_1 = 5 > 0, \Delta_2 = \det\!\begin{pmatrix}5 & -2\\\ -2 & 6\end{pmatrix} = 5\cdot6 - (-2)^2 = 30 - 4 = 26 > 0,
\Delta_3 = \det A = 5\det\!\begin{pmatrix}6 & 2\\\ 2 & 7\end{pmatrix} - (-2)\det\!\begin{pmatrix}-2 & 2\\\ 0 & 7\end{pmatrix} = 5(42-4) +2(-14) = 190 - 28 = 162 > 0.
Como todos os menores principais são positivos, concluímos que A é definida positiva.

Passo 4

Se a forma quadrática é definida positiva, a equação homogênea
(x,y,z)\,A\,(x,y,z)^{T} = 0
só admite a solução trivial (x,y,z) = (0,0,0) em \mathbb{R}^3. Portanto não existem outros pontos reais; em termos da geometria das quádricas, dizemos que se trata de um cone imaginário (ou quádrupla vazia em \mathbb{R}).

Resposta

A forma quadrática é definida positiva, logo a quádrupla é um cone imaginário (não há pontos reais além do trivial).

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