Identifique as cônicas e quádricas a seguir. 12 x^{2}+12 y^{2}+12 z^{2}+16 x y+12 y z=2. Passo 1O enunciado dá a superfície de segundo grau em \mathbb{R}^3 12x^{2}+12y^{2}+12z^{2}+16xy+12yz=2 e pede para identificar de que tipo de quádricas se trata. Vamos usar a representação matricial da forma quadrática e analisar seus autovalores. Passo 2Escrevemos a forma quadrática como \begin{pmatrix}x & y & z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =2 onde A=\begin{pmatrix} 12 & 8 & 0\\\\ 8 &12 & 6\\\\ 0 & 6 &12 \end{pmatrix} porque o termo 16xy corresponde a 2\cdot8\,xy e 12yz a 2\cdot6\,yz. Passo 3Para classificar a quádricas, achamos os autovalores de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. O polinômio característico factoriza-se como (12-\lambda)\bigl(\lambda^2-24\lambda+44\bigr)=0 cuja raiz simples é \lambda=12 e as outras duas raízes vêm de \lambda^2-24\lambda+44=0 com discriminante 576-176=400, dando \lambda=\frac{24\pm20}2\;\Longrightarrow\;\lambda=2\quad\text{ou}\quad\lambda=22. Passo 4Os três autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=12 e \lambda_3=22, todos positivos. Isso significa que a forma quadrática é definida-positiva, logo a superfície é uma elipsoide central, com eixos principais alinhados às direções dos autovetores. RespostaA superfície dada é um elipsoide. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosIdentifique as cônicas e quádricas a seguir. 12 x^{2}+12 y^{2}+12 z^{2}+16 x y+12 y z=2. Identifique as cônicas e quádricas a seguir. -x^{2}-y^{2}-z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=2. Identifique as cônicas e quádricas a seguir. 3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x z-2=0. Questão 1: Responder o que é pedido justificando sua resposta para o sistema dado \begin{aligned} & x+y+2 z=9 \\\ & 2 x+4 y-3 z=1 \\\ & 3 x+6 y-5 z=0 \end{aligned} a) Resolver o sistema usando o método de Gauss b) Resolver o sistema usando o método de Cramer