Identifique as cônicas e quádricas a seguir. 3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x z-2=0.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo da superfície quadrática dada por
3x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xz-2=0.
O conteúdo aqui é classificação de quádricas em \mathbb{R}^3. Vamos usar a forma matricial do termo quadrático, diagonalizar por mudança de base ortonormal e analisar os autovalores para ver se é um elipsóide, hiperbóide, etc.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática como forma bilinear
Q(x,y,z)= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
Como todos os autovalores são positivos, A é definida positiva e a equação Q=2 descreve um elipsóide. Para visualizar em forma canônica, escolhemos vetores próprios ortonormais:
Aqui vemos que os semieixos são \sqrt{\tfrac12}, 1 e 1. Como dois semieixos são iguais, trata-se de um esferoide (elipsóide de revolução) ao longo do eixo u.
Resposta
A superfície é um elipsóide (mais precisamente um esferoide) centrado na origem, com semieixos \sqrt{\tfrac12}, 1 e 1.