Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x z-2=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo da superfície quadrática dada por
3x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xz-2=0.
O conteúdo aqui é classificação de quádricas em \mathbb{R}^3. Vamos usar a forma matricial do termo quadrático, diagonalizar por mudança de base ortonormal e analisar os autovalores para ver se é um elipsóide, hiperbóide, etc.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática como forma bilinear
Q(x,y,z)= \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
onde
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},
pois o termo 2xz corresponde a 1\cdot xz + 1\cdot zx. A equação fica Q(x,y,z)=2.

Passo 3

Para diagonalizar A, notamos que o subbloco em (x,z) é
\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&3\end{pmatrix},
cujo polinômio característico é \det\bigl(\begin{smallmatrix}3-\lambda&1\\\ 1&3-\lambda\end{smallmatrix}\bigr)=0, ou seja
(3-\lambda)^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=4\quad\text{ou}\quad\lambda=2.
O autovalor do eixo y é 2. Logo os três autovalores de A são
\lambda_{1}=4,\quad \lambda_{2}=2,\quad \lambda_{3}=2,
todos positivos.

Passo 4

Como todos os autovalores são positivos, A é definida positiva e a equação Q=2 descreve um elipsóide. Para visualizar em forma canônica, escolhemos vetores próprios ortonormais:
u=\frac{x+z}{\sqrt{2}}\quad(\lambda=4), \quad v=y\quad(\lambda=2), \quad w=\frac{x-z}{\sqrt{2}}\quad(\lambda=2).
Em coordenadas (u,v,w) a equação fica
4\,u^{2}+2\,v^{2}+2\,w^{2}=2.

Passo 5

Dividindo por 2 obtemos a forma padrão do elipsóide:
2\,u^{2}+v^{2}+w^{2}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{u^{2}}{\tfrac12}+\frac{v^{2}}{1}+\frac{w^{2}}{1}=1.
Aqui vemos que os semieixos são \sqrt{\tfrac12}, 1 e 1. Como dois semieixos são iguais, trata-se de um esferoide (elipsóide de revolução) ao longo do eixo u.

Resposta

A superfície é um elipsóide (mais precisamente um esferoide) centrado na origem, com semieixos \sqrt{\tfrac12}, 1 e 1.

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