Questão 1: Responder o que é pedido justificando sua resposta para o sistema dado
\begin{aligned} & x+y+2 z=9 \\\ & 2 x+4 y-3 z=1 \\\ & 3 x+6 y-5 z=0 \end{aligned}
a) Resolver o sistema usando o método de Gauss
b) Resolver o sistema usando o método de Cramer

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y + 2z = 9,\\\\ 2x + 4y - 3z = 1,\\\\ 3x + 6y - 5z = 0.
Vamos usar dois métodos: eliminação de Gauss (para triangular e depois back-substitution) e Regra de Cramer (usando determinantes).

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss, escrevemos a matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & \vrule & 9\\\\ 2 & 4 & -3& \vrule & 1\\\\ 3 & 6 & -5& \vrule & 0 \end{pmatrix}.
Eliminamos x das linhas 2 e 3:
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1\quad\Rightarrow\quad(0\;,\;2\;,\;-7\;|\;-17),
R_3 \leftarrow R_3 - 3\,R_1\quad\Rightarrow\quad(0\;,\;3\;,\;-11\;|\;-27).
Agora eliminamos y da linha 3 usando R_2:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}\,R_2 \quad\Rightarrow\quad(0\;,\;0\;,\;-0{,}5\;|\;-1{,}5).
A equação da linha 3 dá
-0{,}5\,z = -1{,}5 \quad\Rightarrow\quad z = 3.
Substituindo em R_2:
2y - 7\cdot 3 = -17 \quad\Rightarrow\quad 2y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Finalmente em R_1:
x + 2 + 2\cdot 3 = 9 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 3

Pela Regra de Cramer, definimos o determinante do sistema:
D = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 4 & -3\\\\ 3 & 6 & -5 \end{pmatrix} =1\bigl(4\cdot(-5)-(-3)\cdot6\bigr) -1\bigl(2\cdot(-5)-(-3)\cdot3\bigr) +2\bigl(2\cdot6-4\cdot3\bigr) =-1.
Substituímos a coluna de x, de y e de z pelos termos independentes para obter D_x, D_y e D_z:
D_x = \det \begin{pmatrix} 9 & 1 & 2\\\\ 1 & 4 & -3\\\\ 0 & 6 & -5 \end{pmatrix} =-1, \quad D_y = \det \begin{pmatrix} 1 & 9 & 2\\\\ 2 & 1 & -3\\\\ 3 & 0 & -5 \end{pmatrix} =-2, \quad D_z = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 9\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} =-3.
Logo, pela Regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-1}{-1} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-2}{-1} = 2,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-3}{-1} = 3.

Resposta

x=1,\\ y=2,\\ z=3

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