Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
x^{2}+2 x y+y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva de segunda ordem dada por
x^{2}+2xy+y^{2}=0.
O conteúdo é identificação de cônicas em coordenadas cartesianas, usando os coeficientes A, B, C da forma geral
Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\dots=0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes nesta forma geral (não há termos lineares nem termo independente):
A=1,\quad B=1,\quad C=1,
pois na forma usual se escreve 2Bxy e aqui 2B=2\implies B=1.

Passo 3

Calculamos o discriminante das cônicas
\Delta = B^{2} - A\,C = 1^{2} - 1\cdot1 = 0.
Quando \Delta=0, a cônica é parabolicamente degenerada ou um par de retas (parabola degenerada).

Passo 4

Para ver exatamente qual degeneração ocorre, fatoramos o polinômio homogêneo:
x^{2}+2xy+y^{2} = (x+y)^{2}.
Logo a equação é
(x+y)^{2}=0,
ou seja, a mesma reta x+y=0 com multiplicidade 2.

Resposta

A curva é uma cônica degenerada, consistindo de duas retas coincidentes dadas por
x+y=0.

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