Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de segundo grau em
ou seja, é uma quádricа (não uma cônica, pois tem três variáveis). Para classificar, vamos achar o centro, eliminar os termos lineares e levar à forma canônica de uma quádricа.
Passo 2
Construímos o gradiente da função
e igualamos a zero para encontrar o centro
:
Logo o centro é
.
Passo 3
Definimos novas variáveis centradas em
:
Substituindo em
e simplificando, chega-se a
Passo 4
Para diagonalizar o termo misto
, fazemos a rotação ortogonal no plano
:
o que dá
. Após essa rotação e completamento de quadrado para eliminar eventuais termos lineares em
, a equação assume a forma diagonal
com
. Nesta forma há um autovalor positivo e dois negativos.
Passo 5
O número de sinais positivos e negativos mostra que temos exatamente um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, igualando-se a
. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas (quadricа central não degenerada, pois o determinante da parte quadrática é não-nulo).
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, de centro
.