Identifique as cônicas e quádricas a seguir.
-x^{2}+y z-y+z-100=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segundo grau em \mathbb{R}^3
-\,x^{2}+y\,z - y + z -100 = 0,
ou seja, é uma quádricа (não uma cônica, pois tem três variáveis). Para classificar, vamos achar o centro, eliminar os termos lineares e levar à forma canônica de uma quádricа.

Passo 2

Construímos o gradiente da função
F(x,y,z) = -\,x^{2}+y\,z - y + z -100
e igualamos a zero para encontrar o centro (x_{0},y_{0},z_{0}):
\frac{\partial F}{\partial x} = -2x = 0 \implies x_{0}=0,
\frac{\partial F}{\partial y} = z -1 = 0 \implies z_{0}=1,
\frac{\partial F}{\partial z} = y +1 = 0 \implies y_{0}=-1.
Logo o centro é (0,-1,1).

Passo 3

Definimos novas variáveis centradas em (0,-1,1):
u = x,\quad v = y + 1,\quad w = z - 1.
Substituindo em F(x,y,z)=0 e simplificando, chega-se a
-\,u^{2} + v\,w -99 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad v\,w - u^{2} = 99.

Passo 4

Para diagonalizar o termo misto v\,w, fazemos a rotação ortogonal no plano (v,w):
a = \tfrac{v+w}{\sqrt{2}}, \quad b = \tfrac{v-w}{\sqrt{2}},
o que dá v\,w = \tfrac12(a^{2}-b^{2}). Após essa rotação e completamento de quadrado para eliminar eventuais termos lineares em b, a equação assume a forma diagonal
\frac{a^{2}}{198} - \frac{u^{2}}{99} - \frac{b'^{2}}{198} = 1,
com b' = b + \text{constante}. Nesta forma há um autovalor positivo e dois negativos.

Passo 5

O número de sinais positivos e negativos mostra que temos exatamente um quadrado com coeficiente positivo e dois com coeficiente negativo, igualando-se a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas (quadricа central não degenerada, pois o determinante da parte quadrática é não-nulo).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, de centro (0,-1,1).

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