Seja f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma forma bilinear definida por f\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right)=x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2} e considere \alpha=\{(1,1),(-1,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2}. Determine [f]_{\alpha}.

Passo 1

O enunciado define a forma bilinear
f\bigl((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\bigr)=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}
em \mathbb{R}^{2}, e nos pede a matriz de f na base \alpha=\{u_{1},u_{2}\} com
u_{1}=(1,1),\quad u_{2}=(-1,1).
O que precisamos recordar é que a matriz [f]_{\alpha} tem entradas
[a_{ij}] \quad\text{com}\quad a_{ij}=f(u_{i},u_{j}).

Passo 2

Vamos calcular f(u_{1},u_{1}) usando a definição: se u_{1}=(1,1), então
f(u_{1},u_{1})=1\cdot1 - 1\cdot1 = 0.

Passo 3

Agora f(u_{1},u_{2}). Com u_{1}=(1,1) e u_{2}=(-1,1),
f(u_{1},u_{2})=1\cdot1 - 1\cdot(-1)=1-(-1)=2.
Em seguida f(u_{2},u_{1}):
f(u_{2},u_{1})=(-1)\cdot1 - 1\cdot1 = -1 - 1 = -2.
E por fim f(u_{2},u_{2}):
f(u_{2},u_{2})=(-1)\cdot1 - 1\cdot(-1)= -1 - (-1)=0.

Passo 4

Juntando os resultados, a matriz de f na base \alpha é
[f]_{\alpha} = \begin{pmatrix} f(u_{1},u_{1}) & f(u_{1},u_{2})\\[6pt] f(u_{2},u_{1}) & f(u_{2},u_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

[f]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -2 & 0 \end{pmatrix}.

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